APMAE2000 Multivariable
Div TheoremとGreens Theoremで計算が違うのがしっくりきていない
Greens Theoremのfluxが、Div Theoremのdivなのはなぜ?
https://gyazo.com/c1c837e789ea617b92f96de27dfcb995
https://gyazo.com/d54f16b3833036d1e92601c23816da1e
二つ組み合わさってやっと意味を理解したblu3mo.icon
$ d\vec Sと$ dSの違いなど
$ dAまで変換して、やっとu, vのdouble integralができる
https://kakeru.app/dfcc63ca066d43e01f9127e375a7447f https://i.kakeru.app/dfcc63ca066d43e01f9127e375a7447f.svg
https://kakeru.app/896eb51061473ab0001ad3b998dbad5d https://i.kakeru.app/896eb51061473ab0001ad3b998dbad5d.svg
そもそもpartial derivが計算できない時も、smoothではない
これは、normal vectorが存在するかと同義なのか
surface area
tangent vectorらのcross productを取れば、微小量のpallarelogramの面積が得られる
surface integral
areaと同じく、normal vectorの長さ(= pallarelogramの面積)を掛ける
vector integralの場合は、normal vectorの向きも関わってくる
orientable: 表裏を定義できるという感じかな
というか3dだとorientableじゃないsurfaceが存在するのか
この時、vector surface integralは定義できない
greens theorem
curlのdouble integralやったらそれがちょうどline integralになるよねという主張
もっと分解すると、
1. 微小areaの縁のline integralは、curlと同じ
これ確認したいなblu3mo.icon
2. areaを分割してそれぞれの縁のline integralを足すと、areaの縁全体のline integralになる
3. なので、微小areaのcurlのarea integralを取れば、line integralが取れる
curl先教えるべきでは
Conservative Fields
常にその位置でのpotential functionの傾きが最大な方向に向いているvector
なぜconservative?
どんなルートでline integarlをとっても値が同じ = energyなどがconserveする、ということかな?
検証は、f_xy=f_yxを使う
ここ、物理のところの理解と繋げたいblu3mo.icon*2
Fからfを作る計算
g(y)は、∂F/∂xを取る時に消える項を見出すため
Line Integral
Arc Length のintegralする時に、f(r(t))の値もかけてあげれば出来る
independence of parameterizationは確認、複数選択問題ででそう
vector fieldだとしても、r' のunit vector をかけてあげればr'方向の成分を足し合わせられる
Hw9 2(a) 例えばθが0 to piで、dxでintegrateする時、x'(t)=-sinθをかける
ここでnegativeをかける意味は納得いく、x逆方向にintegrateしているので
F drを F * T dsに変える変換、問題解いて直感得るべき
TはFではなくrのtangent vector
Hw9 Q3は有益なので解くべきだな
rをシンプルに保った方が良いとかの知見が得られる
いや、でもrangeも0-n以外だと後の計算が大変だわ
その辺りの直感が得れるので大事
Vector Field
まあ自明
F(vector -> vector)のpotentialはf(vector -> scalar)という理解、大事そうblu3mo.icon
Double Integral
https://kakeru.app/6b9214977508e937d07eb514d5b259c4 https://i.kakeru.app/6b9214977508e937d07eb514d5b259c4.svg
https://kakeru.app/823efeb083a50b0455a43e1e177f5734 https://i.kakeru.app/823efeb083a50b0455a43e1e177f5734.svg
内側のdyのintegral、xの式はあくまでもyの値
Lagrange Multipliers
f(x,y)=~~がある時
Topology
https://kakeru.app/c389117f2385ffab6f2482f740ce2667 https://i.kakeru.app/c389117f2385ffab6f2482f740ce2667.svg
All points are interior => Open Set
All boundary points are included -> Closed Set
open setと定義の仕方が違うblu3mo.icon
Theorems
local extremum of f occurs at an interior point P => P is a critical point
Extreme Value Theorem: if set D is closed & bounded, $ f:D\to Rand R is continuous, global maximum/minimum exists?
TODO: 当たり前な気がするので条件外での反例を探したいblu3mo.icon
20221018
https://kakeru.app/efebebce9b4ae83901169596d1c9b7cd https://i.kakeru.app/efebebce9b4ae83901169596d1c9b7cd.svg
term:
maximum: f(x)
NOT x itself
maximizer: x
Def: critical point
when:
case 1. function is not differentiable
=𝑓𝑥(𝑥0,𝑦0)or𝑓𝑦(𝑥0,𝑦0) does not exist.
case 2. ∇f(x)=0, x is critical point
二つ条件がある
例えばlocal max/minは、critical point
ただそれ以外にもある
saddle point: not local max/min but ∇f(x)=0
inflextion point的なやつ
ただ2dのときのパターン以外にもこれはあって、x方向だとmaximumだけどy方向だとminimumみたいな場所も
max/min/saddle pointの検証
$ D=f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^2というのを使う
条件分岐は分かったが、理由がイメージできない
2022101?
授業は飛ばしたが、これを読んでとても直感が生えた
∇fは、$ f_x(x,y)\hat i+f_y(x,y)\hat jというベクトル
このベクトルの向きが、傾きが最大になる方向
uは、$ \cosθ \hat i + \sinθ \hat jというベクトル
$ ∇f\cdot uは、u方向の傾き
ある方向で傾き$ ∇f\cdot uの値が最大になる = uの方向と∇fの方向が一致する = $ ∇f\cdot u=|∇f||u|\cos(Φ)が$ Φ=0で最大になる
この三つが同じことという理解が重要
∇f
Theorem 2. The gradient vector ∇f has the following properties:
1. The gradient is orthogonal to level sets.
これ、三次元のf(x,y,z)とかでも成り立つという意識大事
level set planeのnormal vectorが生える
2. It points in the direction of greatest change.
3. Its magnitude is the amount of greatest change.
20221013
Differential
x方向とy方向を足すだけで良いのか、まだ直感がない
Chain Rule
これもx方向をy方向のpartial derivを足す
Chain Rule with two variables
これもそう
20221011
Differentiability
f(x)がx=pでdifferentiableか知りたい時:
その時、$ f(x)-L(x)=E(x)(x-p)の形に落とし込めるなら、differentiableと言える
ここで、$ x \to p \implies E(x) \to 0
$ L(x)はlinear function、$ a_0x_0+a_1x_1+...+kみたいな形
つまり、日本語で書けば、f(x)をlinear functionで近似して、x→pの時に誤差→0なら、f(x)はdifferentiable
x=pで誤差=0と書かないのは、そこの値が存在するか分からないからか
これをvectorでやる場合:
基本的に同じノリ、Tangent Planeを計算して、x→pの値が存在するかを見る
L(x)がtangent plane、なるほどblu3mo.icon
Differentiableか調べる問題解くべき
どんな時にnot differentiable?
普通なら、$ (x,y)\to(x_0,y_0)にしたらpartial derivativeの項はE→0になる
ただ、$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)≠f(x_0,y_0)の時とかはE→0にならないのでnot differentiable
これがContinuity of First Partials Implies Differentiabilityか
理解すべきtheoremblu3mo.icon*2
Differentiability Implies Continuity
これはまあ自明
ただ、逆は真とは限らないのが大事
vectorの場合は、contunuousだけどdifferentiableじゃないケースがある
continuousに関しては、一つの方向からのx,y→0,0がx,y=0,0と同じ値であれば良い?
ここ確認必要blu3mo.icon
ただ、differentiableであるためには全方向からのx,y→0,0がx,y=0,0と同じ値である必要がある
Continuity of First Partials Implies Differentiability
Chain Rule
前提として、f(g(x))であれば、gのoutputとfのinputの次元が合っているべき
各変数のpartial derivativeでchain ruleをやって、足せばOK
Q. なぜ足せばOK?
証明追いたい
応用として、Implicit differentiation
$ F(x,y)がある時、$ y'(x)=-\frac{F_x}{F_y}
20221004
tangent planes and linearization
tangent plane
tangent lineを全方向で出して、そのlineを全て含むplaneを作れば良い
簡単そうに思えるけど、意外とvectorの定義の仕方などトラップあるので問題解かないとまずい
そんでもって、それを計算するとシンプルな形のtangent planeの式が得られる
よく見れば結構自明なplaneの式
元々の方法でtangent lineを出していたのは本質的にはpartial differentiationだったので、それを計算する
こっちを覚えるべきかな
linear approximation
tangent planeと基本的に同じ
tangent planeに別の点をsubstituteすれば近似できる
20220929
partial derv/
f_xy=f_yx under certain condition
f_xy, f_yx exists and are continuousなら一緒
20220927
Scalar Fields = 複数変数のfunction
domain/image
rangeではなくimage
https://openstax.org/apps/archive/20220815.182343/resources/cb4e08360e6224623cfd0a774715855e75ee622c?.png
domainは、関数に√とかあるならその制約を変形して得る
rangeは
形の理解
f(x)=zと置いて、ゴリゴリ式変形をして、z=何かの時にこういう形をすると掴んでいくイメージ
等高線もこれで描ける
elispc
Limit
x,yがapproachする方向によってlimitの値が変わることがある
Check the ”cardinal” directions:
That is, check limx→a f(x,b) and limy→b f(a,y). If they don’t match or either doesn’t
exist, the limit as a whole does not exist.
https://gyazo.com/819aeb2cb9d75b29b48b77274fe405f7
方法は5つあって、
plug-in
一番シンプルなやつ
cardinal
これで、そもそもlimitが存在するかをチェックできる
other direction
y=0とかy=xとかy=x^2を代入してみる感じ
無限通りあるので、これを続けたところでlimitが存在することを証明はできない
squeezing
$ |2xy|≦x^2+y^2を知ってないといけない
polar
忘れがちなこと: 変えたら(x,y)→(0,0)がr→0になる
変数が一つになっているので嬉しい
コツ
分母≠0にするのが大事、分子は後で良い
そもそもlimをちゃんと理解してないなblu3mo.icon
$ f(x)=xの時、$ \lim_{x\to0}f(x)=0になる理由がわからん
あ〜、理解
x≠0だけど、f(x)≠0ではないのか
定義を見ればわかる
20220922
arc length
線積分ってやつかな?
vector integralをする時に毎回長さを取ればいける?
$ \int^a_b |\vec r(t)|dtこんな?blu3mo.icon
違うか、|r(t)|のベクトルはarc lengthではなく原点からの距離
$ \int^a_b |\frac{\vec r(t)-\vec r(t+dt)}{dt}|dtこんなblu3mo.icon
そんで、実はこれ中で微分しているので、
$ \int^a_b |\vec r'(t)|dtと同値
確かに、r'(t)はtangentだからそれを足していけば良いのかblu3mo.icon
計算する時は|r'(t)|を√x^2+y^2の形に展開して積分する
面倒だなblu3mo.icon
Arc-Length Parameterization
1. r(t)におけるsとtの関係を出す
2. tをsで置き換えられるので、r(s)の形で関数をかける
すると、ある距離移動した先の位置がわかる
Curvature
イメージ: positionの二階微分でどのくらい傾きがなめらかに変化するかをみる
ただ、注意すべきなのは$ κ=|\frac{d}{ds}T(s)|
tではなく、arc-length parametrizationをして得たsがパラメータ
Tはunit tangent vector
ただこれだとsとか絡んで計算めんどいので、より楽な式がある
$ κ=|\frac{T'(t)}{r'(t)}|
円のcurvatureは1/Rであるとかの証明は追うべきblu3mo.icon
https://kakeru.app/94bb22a79157337bab2dd22422a0465e https://i.kakeru.app/94bb22a79157337bab2dd22422a0465e.svg
できた、これ自力で0からできればOKかな
あとは、暗記推奨と言われていたやつ:
Helix: $ (acost, asint, bt)のcurvatureはconstantで$ \frac{a}{(a^2+b^2)}
スパイラルのやつか
ℝ20220920
vector integral
$ \int^a_b \vec r(t)dt=(\int^a_b x(t)dt, \int^a_b y(t)dt, \int^a_b z(t)dt)
結局微分もそれぞれの次元でやったので、積分もそれぞれでやれば良い
具体的application: 力学
$ \vec v(t)=\vec v(t_0)+\int^t_{t_0}a(t')dt'
$ \vec x(t)=\vec x(t_0)+\int^t_{t_0}v(t')dt'
まあ結局ベクトルになっても各次元で独立に計算するので何も変わらない
今まで二次元の問題を別々に解いていたのと一緒だな
20220915
Line/PlaneとPoint/Planeなどの距離の計算など
これは今までxから垂線おろしたところを計算したりして距離を計算していた
けどこれはprojにちかい操作なので、projを使って計算できる
point $ \vec xとline $ l=\vec p+λ\vec vの距離:
$ d=(\vec x - \vec p)-proj_{\vec v}(\vec x-\vec p)
x-pと、それをdirection vectorにprojしたものの差が距離、なるほどblu3mo.icon
point $ \vec xとplane $ (\vec r - \vec p)\cdot \vec n= 0の距離:
もっとシンプルで、$ comp_{\vec n}(\vec x-\vec p) = |proj_{\vec n}(\vec x-\vec p)|
position vectorを差し引いた上でnormalにprojして距離を取ればそれは答え
normal vecがposition vecから生えてるので、position vecを差し引く必要がある
two skewed lineの最短距離
line $ l=\vec p+λ\vec v, m=\vec q+ω\vec r
とりあえず二つの線のdirectionのnormalを取る
$ \vec n = \vec v \times\vec r
あとは、normalに$ \vec p - \vec qをprojすれば最短距離が出る
ここで、normalに関しては距離情報は意味がないが、p-qは意味があるというイメージ
--
vector limits and derivatives
parametricなcurveについて考える
$ \vec v = (f(t), g(t), h(t))
（ここでf,g,hがlinear functionならlineになる）
微分すると、
$ r'(x)=\lim_{h\to0}\frac{\vec r(x+h)-\vec r(x)}{h}
あくまでもこれはsingle variableな微分で、関数がvectorなだけ
ここで、vectorの微分でもchain ruleとかproduct ruleは効く
dot productでもcross productでもいける
へ〜、なぜ?blu3mo.icon
証明はあったが、直感が生えない
ここは復習必要blu3mo.icon
Unit-tangent vectorを、$ \frac{\vec r'(t)}{|r'(t)|}とする
せやな、という定義blu3mo.icon
スカラーxの微分の場合はyが左辺にあるけど、三次元の場合はx,y両方右にあるから微分するだけでtangentが取れる
https://kakeru.app/c24c852febbeabe29819f79cd94d424c https://i.kakeru.app/c24c852febbeabe29819f79cd94d424c.svg
この左右の違いはなんだろう
単純に、左例におけるf(x)が、右例のf(x)のyベクトルに入っているという感じか
20220913
Lineの定義
知っている話
二つのlineがparallelかどうかを考えるときに、色々考え方はある
$ \vec a = \lambda \vec bかどうかとか
$ |\vec a \cdot \vec b|=|\vec a||\vec b|かどうかとか（a, bはdirectional vector）
これは$ \vec a = \lambda \vec bと同じ..?
二つの交点があるかとか
Planes
知っている話
normal vectorと(position vector - x)のdot productが0になるxの集合
-.icon
proj/comp
とりあえず理解した、また忘れても↓あたりを読めばすぐ理解できそう
$ proj_xaの時、xは方向情報にしか意味はない（距離情報はどうでも良い）という意識が大事そう
意味を考えてもそうだし、計算をみてもdistanceで割られるので距離情報が消える
dot/cross product
大体はまあ既知
可換か, 線型かなどは異なるので注意
https://gyazo.com/889e29972b25f0d6df31047e82f4c014
$ |\vec a\times \vec b|でaとbでできたparallelogramの面積が得られたり、Parallelepipedの面積もその延長で得られたり
-.icon
教科書、どっちかで良い
hw, completion + correctness
multivariableのcalcをやるよ、と
名前のまま
locus
式で定められるset of points
vector
これは二つの座標の差分しか持たない（どこが始点終点かは分からない）
magnitude: $ |\vec V|=\sqrt {{v_1}^2+{v_2}^2+{v_3}^2}
linear combination たぶん線型結合 $ a\vec v + b\vec v
これを定義するのにscalar multiplication, vector additionが必要（定義は自明）
感想